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固定期劳动合同到期后，单位继续用工的，视为双方又建立了新的实际用工关系。与初次用工时法律给与一个月的订约宽限期不同，在本案例中，自上一次劳动合同到期次日起，用人单位就应当与个人订立书面劳动合同。
未签署书面合同，不等于员工有违章的合法理由，如果员工的违章行为达到开除程度的，可以开除；但是，你所说的规章制度必须经过民主程序订立，且告知了员工。你还需要掌握确凿的员工严重违反规章制度的证据。
开除员工与不签署书面合同是两个无关的问题。即使可以开除该员工，公司也应该赔偿未签署书面合同期间的双倍工资。如果因严重违反规章制度而被开除的，可不支付经济补偿金。
